Les sourciers sous la sellette des maths !

Le jour de mes 17 ans, ma grand-mère m’a mis dans les mains un petit livre au titre bien étrange: «Devenez sorciers, devenez savants». Elle ne le savait pas encore, mais sa lecture allait me pousser vers les maths, spécifiquement vers la statistique… alors que ce n’était même pas le sujet du livre ! En discutant de sorcellerie, d’astrologie, d’âme humaine et d’extra-terrestres, le livre m’a immédiatement captivé, si bien que j’ai dévoré les nombreuses notions de probabilité qui s’y trouvaient sans même m’en rendre compte. En particulier, j’ai été profondément marqué par l’histoire… d’un sourcier français.

Un sourcier pour faire simple, c’est une personne qui prétend pouvoir détecter de l’eau dans le sol, par exemple via une baguette en forme de Y (souvent en noisetier) ou d’un pendule. Dans le cadre du Prix-Défi international de 200 000 euros offert à toute personne pouvant faire la preuve d’un phénomène paranormal quel qu’il soit, un candidat s’est présenté, déclarant détecter aisément l’eau avec sa baguette.

Le test des capacités du monsieur s’est déroulé sur la pelouse du campus de la faculté des sciences de Nice durant l’été 2001. Dix tuyaux parallèles ont été placés comme montré sur le schéma, chaque tuyau disposant d’une vanne permettant de laisser passer l’eau ou pas. Les 10 tuyaux étaient cachés par une simple toile et le principe était de laisser passer l’eau dans un seul des 10 tuyaux à la fois. Le sourcier n’avait donc qu’à indiquer, à sa convenance, grâce à sa baguette, le bon tuyau selon lui.

STOP. Je sais que le suspense du résultat est insoutenable mais il est temps de poser quelques bonnes questions, à commencer par la suivante: si on choisit au hasard un tuyau, quelles sont les chances de tomber juste ?

Une chance sur dix, bien sûr !

Mais si maintenant on vous propose 5 tentatives (le tuyau dans lequel l’eau s’écoule n’étant pas forcément le même d’une tentative à l’autre), à quoi s’attendre ? Quelles seraient les chances de, par exemple, obtenir 3 succès (et donc 2 échecs) quand on choisit au hasard ?

En fait, toute combinaison des 2 échecs et 3 succès est possible. Combien de combinaisons y a-t-il au total ?

Pour placer le 1^er échec, nous avons 5 possibilités (5 cases). Ensuite, nous avons 4 possibilités pour placer le second échec (une case est déjà occupée par le premier échec). Si on fait le croisement, ça fait déjà 5×4=20 possibilités à ce stade ! Mais nous n’avons pas fini, il faut encore placer les succès donnant au total 5x4x3x2x1=120 possibilités de remplissage.

Pouvons-nous donc conclure qu’il y a 120 scénarios mélangeant 3 succès et 2 échecs, chacun avec une probabilité de 0,00081 ? Pas tout à fait, car il y a une petite subtilité supplémentaire à prendre en compte: le fait que les échecs sont indiscernables entre eux, tout comme les succès sont indiscernables entre eux. Si vous placez le premier échec dans la première case et le second dans la deuxième, c’est impossible à distinguer d’un remplissage où l’on aurait placé le premier échec dans la seconde case et le second échec dans la première case. 

La correction consiste à diviser les 120 remplissages par le nombre de permutations possibles entre les 3 succès (3x2x1 permutations) et le nombre de permutations possibles entre les échecs (2×1 permutations), donnant 10 scénarios et non 120.

Dix scénarios, donc, dont la probabilité est à chaque fois 0,00081. Autrement dit, les chances d’obtenir, par hasard, 3 succès et 2 échecs sur 5 tentatives peu importe l’ordre des succès et des échecs sont 0,00081×10=0,0081.

Concrètement, le sourcier à Nice a fait 20 tentatives et non 5. Mais la logique développée plus tôt reste la même et nous permet de calculer le joli graphique qui suit :