Mais pourquoi la racine carrée de -1, c’est interdit !?

C’est cool comme opération, la racine carrée. La racine de 9 par exemple, c’est le nombre 3, c’est-à-dire le nombre qui une fois multiplié par lui-même permet de retomber sur 9. «Le» nombre ? Il y a en fait une autre racine, un peu moins «sexy»: -3, vu que -3  x  -3 ça fait bien 9 aussi ! Mais peu importe, le point essentiel est qu’en multipliant une racine par elle‑même, on doit pouvoir reconstituer le nombre initial. Et quelle galère c’est quand le nombre à reconstituer est négatif, comme -1… Vous voyez le problème ? Si la racine est positive, sa multiplication par elle‑même est forcément positive, impossible d’avoir -1. Si la racine est négative, sa multiplication par elle-même donne aussi un nombre positif, donc impossible de retomber sur -1. Bref la racine de -1 n’est ni positive, ni négative. Fichtre !

Sur les bancs de l’école, avant ma rétho, je me souviens distinctement de mes professeurs de mathématiques expliquant que la racine carrée d’un nombre négatif, ça n’existait pas, POINT ! Oser écrire le contraire à une interro, c’était risquer de se prendre un 0. Et puis, sur la fin de ma scolarité, mon prof me dit ceci: «La racine de -1, certains disent que ça n’existe pas. Mais peut-être que c’est juste un nombre d’un nouveau genre, exotique, tout comme les nombres négatifs qui, à une époque, ont été vus comme très étranges !»

Bref, déclarons que la racine de -1, même si ça reste mystérieux, cela vaut «𝑖», un nombre qui n’est ni négatif, ni positif, car bien plus compliqué que ça, on va d’ailleurs dire que c’est un nombre «complexe».

Propriété fondamentale de «𝑖» ? Comme il s’agit de la racine de -1, la seule certitude le concernant est  𝑖×𝑖=-1.

Ce point de départ vous semble naïf ? Et pourtant, c’est grâce à lui que le champ des nombres complexes a été ouvert !

Supposons qu’on souhaite obtenir la racine de -4. On peut écrire: 

La racine de -4 est donc égale à 2 x la mystérieuse racine de -1 ! À partir de là, nous pouvons juste craquer notre slip et tenter toutes les opérations habituelles: Que vaut par exemple 2𝑖+3𝑖 ? Hé bien, 5𝑖 ! C’est la racine de −25 vu que 5𝑖×5𝑖=−25

Et si j’ajoute, disons, l’entier 3 au nombre 𝑖, quel est le résultat ? 𝑖 étant mystérieux, pas clair de comment y incorporer l’entier 3. Mais on peut toutefois écrire «𝑖+3» faute de mieux. Et que se passe-t-il si je tente d’additionner 𝑖+3 d’un côté et 2𝑖−2 de l’autre ? Hé bien, cela devrait en toute logique donner: 

(𝑖+3)+(2𝑖−2)=3𝑖+1

Poussons plus loin encore: que devrait faire (𝑖+3)² par exemple ? Il suffit de développer:

(𝑖+3)²=𝑖²+6𝑖+9

Et comme 𝑖²=𝑖×𝑖= −1 (rappelez-vous, c’est notre seule certitude concernant 𝑖), on peut aussi écrire:

𝑖²+6𝑖+9 = −1+6𝑖+9 = 6𝑖+8

Que retenir pour briller en société ? La racine de -1 n’est ni un nombre positif, ni un nombre négatif, mais quelque chose de nouveau: un nombre complexe. Tout nombre qui peut s’écrire sous la forme 𝑎𝑖+𝑏 est appelé nombre complexe, le nombre complexe «𝑖» seul étant le cas particulier où 𝑎=1 et 𝑏=0.