Apprendre à raisonner par l’absurde

 
Chères lectrices, chers lecteurs, nous avons du pain sur la planche aujourd’hui ! Il s’agit de déterminer rien de moins que l’innocence… d’Alexavier.

• A.      Alexavier est-il innocent ?
• B.      Partons du principe qu’il est coupable d’avoir volé des montres lors d’un braquage spectaculaire Avenue Louise à Bruxelles.
• C.       Donc il était à Bruxelles à l’heure des faits !
• D.      Mais comme il a été filmé à Marseille 10 minutes plus tôt, c’est qu’il a réussi à parcourir un millier de kilomètres en 10 minutes, voyageant à la vitesse vertigineuse de 6 000 km/h.
• E.       Aucune voiture ni même un avion commercial ne va si vite (le Concorde avait une vitesse maximale de 2 180 km/h) /!\

Fichtre, nous voilà bloqués. Quelque chose dans le déroulé de notre pensée de B à E ne va pas. Et vous savez quoi ? Il n’y a qu’un nombre limité de choses que l’on peut remettre en cause dans nos réflexions: soit D, car la vidéo d’Alexavier à Marseille pourrait avoir été générée par l’IA, soit B, car partir du principe qu’il est coupable est en fait une erreur ! Si l’authenticité de la vidéo est avérée, alors il ne reste plus que B à remettre en cause et la preuve est complète: Alexavier est innocent !

Ce que nous venons de faire n’est pas anodin. Il s’agit d’un raisonnement dit «par l’absurde», l’une de mes formes de raisonnement favorites, très utile au quotidien mais aussi plébiscitée par les mathématiciens du monde entier. Comment ça marche ? Vous cherchez à prouver un truc, notons-le A. Par l’absurde, vous supposez que ce truc est faux, supposition notée B. En vous appuyant ensuite sur B, vous explorez ce qui se passe. Et si un problème évident apparaît, la preuve est complète ! C’est que quelque chose dans le déroulé de vos pensées à partir de B ne va pas. Si vous avez bien travaillé, il n’y aura qu’une chose à remettre en cause: B lui-même, …prouvant A !

Vous voulez un second exemple ? Résolvons ensemble :

Nous finissons sur une contradiction, donc quelque chose dans le déroulé B → F ne va pas. Que remettre en cause ? On pourrait commencer par F : bien que Cajou ait été parfaitement propre pendant 7 ans, elle pourrait avoir eu un accident. D pourrait aussi être remis en cause: suis-je sûr qu’aucun autre chat n’a pu accéder au garage à part Cajou ? Selon moi toutefois, le vrai point faible du raisonnement est B : partir du principe que Bambou est innocente est une erreur, d’autant plus quand on sait qu’elle a déjà eu des problèmes de propreté par le passé. Conclusion: A  est correct, Bambou est coupable !

Chère lectrice, cher lecteur, vous allez peut-être me dire que la rubrique maths d’Athena contient peu de maths aujourd’hui. Vous avez raison ! Montrons par l’absurde que 4 est un nombre pair.

• A.      4 est un nombre pair.
• B.      Supposons par l’absurde que 4 n’est pas pair, c’est-à-dire est impair.
• C.       Si 4 est impair, alors par définition d’un nombre impair, on peut l’écrire sous la forme 4=2k+1 où k sera un nombre entier.
• D.      En partant de 4=2k+1, retirons 1 des deux côtés de l’égalité pour finir avec 3=2k.
• E.       Divisons ensuite par 2 des deux côtés de l’égalité pour obtenir 3/2=2k/2, autrement dit 3/2=k.
• F.       3/2, cela fait 1,5 et ce n’est pas un nombre entier /!\

Une contradiction est apparue, c’est donc gagné ! Dans notre déroulé, il est dit très justement en C que k est un nombre entier. Mais nous venons de montrer en F que k n’est pas un nombre entier. Quelque chose ne va pas. La seule chose que l’on peut remettre en question dans le déroulé de B à F, c’est B, disant que 4 est impair. Comme 4 n’est pas impair, la conclusion est claire: 4 est pair !

Pourquoi tant de mathématiciens mais aussi non-mathématiciens aiment-ils les raisonnements par l’absurde ? Car ils offrent un cadre très accessible et plaisant pour discuter et réfléchir. Mais tout n’est pas rose pour autant.

Il est très facile de démontrer tout et n’importe quoi par l’absurde: il suffit de faire des erreurs de raisonnement plus ou moins subtiles pour arriver à une contradiction, puis ignorer ces erreurs de raisonnement pour remonter à B et remettre fallacieusement B en cause. Voici un exemple qui nous vient du politicien Jacques-Alain Bénisti, qui a milité contre le mariage pour tous en France avant que la loi soit adoptée en 2013.

• A.      Il faut interdire le mariage pour tous !
• B.      Supposons par l’absurde qu’on autorise le mariage pour tous.
• C.       On a déjà dépénalisé la prostitution.
• D.      La suite du mariage pour tous et de la dépénalisation de la prostitution, ce sera de dépénaliser le viol /!\

Le déroulé en partant de B aboutit à un résultat sociétalement inacceptable ! Pour l’éviter, nous devons identifier quoi remettre en cause. Pour le politicien concerné, c’est bien sûr B : autoriser le mariage pour tous est une erreur, nous menant à la conclusion que A est la bonne réponse, il faut l’interdire.

Mais le déroulé sent mauvais. C est factuellement vrai. D en revanche est hautement critiquable. L’implication 

mariage pour tous + dépénalisation de la prostitution → dépénalisation du viol

n’est franchement pas évidente pour ne pas dire complètement fantaisiste. Mais pour certains et certaines à l’époque, cette pseudodémonstration par l’absurde était convaincante et aurait pu injustement stopper cette loi.

Un petit dernier pour la route ? Tentons de prouver par l’absurde qu’il n’existe aucun nombre qui serait plus grand que tous les autres !

• A.      Il n’existe aucun nombre qui serait plus grand que tous les autres.
• B.      Par l’absurde, supposons que ce nombre existe et désignons-le par M.
• C.       Comme c’est un nombre, je peux lui ajouter +1, donc écrire M’=M+1.
• D.      M’ est encore un nombre, puisqu’ajouter +1 sur un nombre donne encore un nombre.
• E.       De toute évidence M’ > M /!\

Une contradiction apparaît, donc c’est gagné ! Notre point de départ B était que M est le plus grand des nombres. Pourtant, nous avons pu construire M’ qui est encore plus grand. Comme nous n’avons fait aucune erreur de raisonnement nulle part, la conclusion est claire: B, notre point de départ, ne tient pas debout. Donc A est vrai, c’est-à-dire qu’il n’existe aucun nombre M plus grand que tous les autres !