Un tirage au sort… équitable

Dans ma famille, à Noël, lors de l’apéro, on a l’habitude de tirer au sort un prénom et de veiller particulièrement sur cette personne durant toute la fête. Il faut la jouer finement car le but est de ne pas être démasqué en fin de soirée. C’est vraiment une tradition. Je me souviens encore très bien de ces premières soirées où je devais avoir 8 ans. En arrivant, chaque invité inscrivait son nom sur un papier qu’il déposait dans un bonnet de Père Noël et ensuite, dès l’ouverture des festivités, le plus âgé (privilège de la vieillesse me disait-on) plongeait sa main dans le bonnet pour y piocher un nom.

Évidemment, s’il tirait son propre nom, il remettait le papier et en sortait un autre. On passait alors le bonnet à la 2^e personne la plus âgée – souvent Mémé Louise – et on continuait ainsi de suite. Si elle piochait son nom elle le remettait. Sinon, elle passait le chapeau. Tout se passait bien sauf si (ce que j’espérais) le dernier piocheur tirait son propre nom. Ben oui, impossible pour lui d’échanger alors avec quelqu’un d’autre, sans quoi notre jeu n’aurait plus eu aucune saveur: tout le monde aurait directement deviné qui était l’ange gardien de ce dernier. On remettait alors tous les noms dans le bonnet de Noël et c’était reparti pour un tour. Chouette !

Je me souviens qu’à l’époque, j’avais déjà fait remarquer que si l’avant-dernière personne tirait son propre nom et qu’elle le remettait dans le bonnet, il n’y avait pas grand mystère pour savoir qui allait piocher la dernière personne… Et que même si c’était l’avant-avant dernière personne qui piochait son propre nom, c’était beaucoup plus facile pour elle de deviner son ange gardien de la soirée. Il n’y avait que 2 possibilités.

Mais ce que je ne soupçonnais pas à l’époque, c’est qu’en plus, ce système n’est pas du tout équitable ! Accrochez-vous bien: le dernier à piocher dans le bonnet de Noël a plus de chances d’avoir été tiré au sort par le premier. Autrement dit, si vous êtes le dernier à piocher, celui qui a pioché en premier a une chance plus grande que tous les autres de vous avoir… pioché ! Incroyable mais vrai. Évidemment, plus il y a de personnes, plus la différence des chances s’estompe mais dans un petit groupe, cette différence est vraiment très significative.

Prenons un exemple assez simple en imaginant une fête de Noël à 3 personnes. Ne riez pas, c’est ce que le gouvernement belge autorisait l’an dernier pour les personnes seules: un maximum de 2 invitations. Alix a donc convié ses 2 meilleurs amis: Tom et Liza. Arrive le moment du tirage au sort pour les cadeaux. Pensant que ça n’a aucune importance, ils décident d’un commun accord qu’Alix piochera en 1^er, Tom en 2^e et Liza en dernier. Quand Alix tire un nom, ça ne peut être que celui de Tom ou de Liza. Car si elle avait tiré son propre nom, elle aurait dû le remettre dans le bonnet et en tirer un autre. Et bien entendu, Alix a exactement la même chance de choisir Tom ou Liza. C’est kif kif. Fifty-fifty. 50-50.

Imaginons qu’Alix pioche Tom. Elle passe alors le bonnet de Noël au 2^e piocheur qui est justement Tom. Innocemment, on pourrait croire qu’il est libre de piocher Alix ou Liza, les 2 noms restants… mais c’est faux. Car si Tom pioche Alix, au tour d’après, il ne reste qu’un seul papier dans le bonnet et Liza serait donc obligée de piocher… Liza. Résultat, comme c’est la dernière à piocher, on recommence tout. Bref, si Alix a choisi Tom, le tirage au sort n’aboutit que si Tom choisit Liza. Et dans ce cas, Liza prendra le dernier papier sur lequel est écrit Alix.

Et si Alix avait pioché Liza ? Dans ce cas, Tom ne peut que piocher Alix. En effet, si Tom tire son propre prénom, il doit le remettre dans le chapeau et piocher de nouveau car n’oubliez pas la règle fondamentale: c’est uniquement lorsque le dernier piocheur tire son nom qu’on recommence tout. Mais ici, Tom n’est pas la dernière personne. C’est donc un tirage forcé: il est obligé (sans peut-être même s’en rendre compte) de piocher Alix. Et dans ce cas de figure, forcément, Liza piochera le dernier papier sur lequel est écrit Tom.

Ainsi donc, avec 3 personnes, il y a seulement 2 configurations finales possibles. Mais le plus surprenant arrive: ces 2 seules configurations n’ont pas la même probabilité. La configuration Liza-Alix-Tom a 1 chance sur 2 de se produire car finalement, elle ne dépend que du fait de choisir Liza qui a 1 chance sur 2 de se produire. En revanche, la configuration Tom-Liza-Alix, elle, n’a qu’1 chance sur 4 de se produire car il faut qu’Alix choisisse Tom mais aussi que Tom choisisse Liza ! En conclusion, le tirage Liza-Alix-Tom se produit 2 fois plus souvent que le tirage Tom-Liza-Alix. Vous avez bien lu: 2 fois plus souvent ! C’est complètement inéquitable…

Bien entendu, maintenant que vous connaissez le secret de ces faux tirages au sort, vous pouvez l’utiliser à votre avantage ! Si Tom préfère que ce soit Alix qui pioche son nom (il sait qu’elle a bon goût), il n’a qu’à changer de place et devenir le dernier piocheur. Surprenant, hein ? Évidemment, comme je l’ai déjà écrit précédemment, plus les piocheurs sont nombreux, plus les différences de probabilités s’amenuisent mais il n’empêche que le dernier piocheur aura toujours plus de chance d’avoir été tiré par le premier que n’importe qui d’autre !

Mais puisque ce système n’est pas optimal, peut-on faire mieux ? Bien sûr ! Rassurez-vous, je ne vais pas vous laisser dans l’embarras pour vos fêtes de fin d’année ! Une première façon de faire mieux, à laquelle vous avez peut-être déjà songé, c’est de changer légèrement les règles. Celui qui pioche ne regarde pas son papier. Personne. Ce n’est qu’à la fin du tour, quand tout le monde a pioché, que chacun regarde secrètement son pioché. Et là, je vous garantis une équité totale. Malheureusement, il y a une faille dans ce système: il n’est pas du tout improbable que quelqu’un ait tiré son propre nom. Dans ce cas, pas d’avance, il faut recommencer le tirage. L’ennui, c’est que ça peut arriver plus souvent que vous ne le penseriez. En fait, ça se produira presque 2 fois sur 3 ! Ce qui est très surprenant, c’est que si vous êtes 10, 50 ou 100, cette probabilité ne varie pas. On pourrait être tenté de croire, intuitivement, que plus on est nombreux, plus cette probabilité sera petite. Et bien NON ! Il n’en est rien. Dans tous les cas, la probabilité qu’au moins un piocheur tire son propre prénom vaut toujours presque 2 chances sur 3. 63,21% pour être plus précis. Et si vous voulez que je sois vraiment précis, cette probabilité vaut exactement 1-(1/e). C’est mon cadeau de Noël. Le célèbre e, base naturelle des logarithmes dont la valeur vaut à peu près 2,7 18 28 18 28 45 90 45… Mais qu’est-ce que ce nombre vient faire ici ? Ce serait une longue histoire mais je vous invite à parcourir l’encadré pour tenter une drôle d’expérience.

Bref, si vous êtes 20 autour du bonnet de Noël et qu’il faut recommencer le tirage plusieurs fois, vous risquez de récolter la mauvaise humeur de certains participants. Et donc ? Pas moyen de procéder à tirage au sort équitable sans risque de répétition ? Bien sûr que si… Avant la soirée, préparez autant de papiers rectangulaires que d’invités. Tenez ces rectangles verticalement et aussi bien en haut qu’en bas de chaque morceau de papier, écrivez alors tous les nombres de 1 à 20.

Rassemblez-les, mélangez-les et enfin étalez les rectangles de papier sur la table, face cachée. Maintenant, coupez les rectangles en leur milieu et faites glisser d’un cran tous les papiers de la rangée supérieure. Voilà, c’est fini. Quand les invités arrivent, ils choisissent une moitié supérieure et prennent évidemment la moitié inférieure correspondante. Le nombre du dessus est celui qui vous désigne et celui du dessous désigne votre pioché. Équiprobabilité totale et certitude que personne n’aura son propre numéro grâce à la translation effectuée. Il vous suffit d’avoir prévu une feuille avec les numéros notés de 1 à 20 et chaque invité n’a plus alors qu’à indiquer son nom en face du numéro qui lui a été affecté. Il ne vous reste alors plus qu’à afficher cette feuille et tout le monde connait instantanément la personne qu’il a piochée. Et ceci, dans le plus grand secret et surtout… la plus grande équitabilité !

En mathématiques, ça porte le nom d’un effet surprenant que j’ai pris l’habitude d’appeler l’effet #Waooh ! Joyeuses fêtes de fin d’année.