Quand les PROBAS s’invitent à KOH-LANTA !

Pour ceux qui ne sont pas des aficionados de l’émission, rassurez-vous, je vous explique tout ! Les Ambassadeurs sont une épreuve mythique de l’aventure dans laquelle 2 candidats (appartenant à des équipes opposées) doivent décider d’éliminer communément un membre d’une des tribus. La joute est verbale et les tentatives de manipulation sont nombreuses. S’ils ne parviennent pas à se mettre d’accord et à proposer conjointement un nom à l’emblématique présentateur de la série Denis Brogniart, ils prennent alors le risque de procéder à un tirage au sort qui exclura définitivement un des 2 ambassadeurs: Colin ou Louana dans l’épisode qui nous concerne.

Bien qu’il n’y ait pas eu de tirage au sort puisque Colin a fini par céder en éliminant un de ses propres équipiers, ce sont surtout ses règles qui nous intéressent ici. Habituellement, chacun des 2 ambassadeurs doit piocher une boule dans un sac totalement opaque. Chaque sac contient 2 boules: une blanche et une noire. Si les 2 boules sorties sont de la même couleur, on recommence le tirage. Sinon, c’est le malheureux candidat de la boule noire qui est exclu de l’épreuve sur le champ. Pour se consoler, il aura toutefois la fierté d’annoncer aux siens qu’il n’a livré personne en pâture et qu’il est fier d’être éliminé pour le salut de son équipe. Les autres exprimeront alors leur désolation tout en étant bien heureux de s’en tirer indemne. 

Mais cette fois, le fichu tirage au sort n’était pas tout à fait équitable pour les 2 candidats puisque le pauvre Colin avait subi le sort du totem maudit au cours d’une épreuve précédente. Celui-ci se retrouvait donc avec un sac qui contenait non pas une boule blanche et une noire mais bien 1 blanche et 2 noires ! Damned ! Il était donc entendu que si Colin persistait à ne pas éliminer un candidat de sa propre équipe, ses chances seraient plus grandes d’être lui-même éliminé. Cependant, à l’image de ses aventuriers, Denis a voulu se montrer plus téméraire que ce qu’il n’aurait dû puisqu’il a bravement clamé durant l’émission: «50% de risque de tirer la boule noire pour Louana, 66% pour Colin, soit un gap de 16%». Et c’est ainsi que subitement, ma chronique bimestrielle était toute trouvée.

S’il y a bien un raisonnement mathématique dont je me méfie plus que de raison, c’est d’un raisonnement probabiliste. Martin Gardner, un maître en matière de jeux mathématiques, avait d’ailleurs écrit en 1959 dans la revue Scientific American que «dans aucune autre branche des mathématiques, les experts ne peuvent se tromper aussi facilement que dans la théorie des probabilités». Cette fois, le bon raisonnement à adopter n’est pourtant pas hors de portée. Dans le dangereux raccourci proposé par Denis, il oublie de considérer que si les boules sont de même couleur, alors il y a remise et nouveau tirage. Et ça change tout. Une judicieuse façon d’aborder ce problème est donc de répertorier les différents scénarios possibles. Assez facilement, vous en compterez seulement 4:

Les situations 1) et 2) nous intéressent moins puisque dans ces cas, on procède à un nouveau tirage. Et bien sûr, puisque chaque tirage est indépendant, les probabilités n’en seront pas modifiées. Pour calculer la probabilité de l’événement 3),  il suffit de calculer la probabilité que Colin pioche une boule blanche (1/3) et de la multiplier par la probabilité que Louana pioche une boule noire (1/2). Soit 1/6. Interprété dans le contexte de l’aventure, ce résultat signifie donc que Louana n’a qu’1 (petite) chance sur 6 d’être exclue de l’édition 2022. En revanche, la reproduction de ce raisonnement pour calculer la probabilité de l’événement 4) nous révèle alors que Colin a tout de même 2 chances sur 6 d’être éliminé. Autrement dit, Colin a 2 fois plus de (mal)chance que Louana de quitter l’aventure, ce qui est bien loin du gap de 16% annoncé par Denis durant l’émission ! Pour les plus visuels (ou les plus méfiants) d’entre vous, le simple tableau à double entrée ci-contre devrait achever de vous en convaincre.

Inévitablement, cette mauvaise interprétation du hasard de Denis Brogniart me fait penser à un autre problème légendaire. En 1963, sur le plateau des studios de la NBC en Californie, un présentateur du nom de Monty Hall animait un drôle de jeu télévisé qui allait inspirer un mathématicien américain, Steve Selvin. «Imaginez-vous face à 3 portes dénommées A, B et C. Derrière l’une d’entre elles, une rutilante Cadillac. Derrière les 2 autres, une chèvre. Monty Hall vous propose de choisir à l’instinct une porte et de l’ouvrir. Vous gagnez ce qui s’y trouve !»

Supposons qu’après réflexion, votre instinct vous guide vers la porte C. Monty Hall, qui connait le contenu de chaque porte, fait monter le suspense d’un cran en révélant ce qui se cache derrière la porte A: une chèvre ! Applaudissements appuyés du public qui salue votre précieuse intuition. C’est alors que l’animateur vous donne la possibilité de modifier votre choix de départ: restez-vous sur votre premier choix en ouvrant la porte C ou voulez-vous changer d’avis et ouvrir la porte B ? Si la question est simple, le dilemme l’est beaucoup moins. C’est justement là que réside tout le paradoxe. Un paradoxe qui a fait couler beaucoup d’encre jusqu’à faire les titres du New York Times le 21 juillet 1991: il est toujours préférable de modifier son choix initial.