Les maths en jeux

Clémentine LAURENS • Twitter: @ClemLaurens

Formalisée dans le courant du 20^esiècle, la théorie des jeux est une branche des mathématiques qui regroupe un très large spectre de sous-domaines. Jeux «combinatoires», «bayésiens», «différentiels», «coopératifs» ou au contraire «compétitifs», «discrets» ou «continus», «à somme nulle» ou non, «symétriques» ou «asymétriques», «simultanés» ou «séquentiels»… La liste est étourdissante ! Et pour cause: le concept de «jeu» recouvre des réalités profondément différentes, du Pierre-papier-ciseaux aux Échecs en passant par le Seven Wonders ou le Jeu de l’Oie… mais aussi les relations diplomatiques, la micro- ou macro-économie ou même les sciences sociales ! Car, en somme, les mathématiques appellent «jeu» toute série d’interactions entre des agents rationnels – les joueurs – qui poursuivent chacun un objectif en agissant conformément à un panel de règles. Vaste programme…

En raison de cette variété, la théorie des jeux a adopté bien des visages différents au cours des dernières décennies, et nombreux sont les outils mathématiques qui se sont immiscés dans la discipline. Nous nous attardons ici sur un outil central, qui apparaît assez naturellement et s’est révélé très utile pour étudier de nombreux jeux: les graphes.

Pour comprendre comment la théorie des graphes s’immisce dans la théorie des jeux, prenons un exemple connu de toutes et tous: le jeu Oxo sur une grille à 9 cases. Il est facile de se convaincre que si les 2 adversaires jouent correctement, la partie d’achèvera sur un match nul. Mais comment s’en assurer mathématiquement ? Une solution consiste à construire ce que l’on appelle un «arbre du jeu»: un objet qui présente sous une forme synthétique l’ensemble des parties possibles. Un «arbre», en mathématiques, est un type particulier de graphe, c’est-à-dire un ensemble de sommets relié par des arêtes, comme dans la figure ci‑dessous.