La croix du bûcheron

 
Bon, pas tout à fait simples: ils doivent avoir la même taille. Oh, il faut aussi que le sol qui vous sépare de l’Atomium soit plat (ce qui n’est pas gagné, le boulevard du Centenaire est pentu, heureusement il y a des rues latérales plus plates). Passés ces soucis, la technique est aussi simple que redoutable !

Placez l’un des bâtons à l’horizontale exactement devant l’un de vos yeux et pointez la base de l’Atomium avec ce dernier. Placez l’autre bâton à la verticale au bout du bâton horizontal… de sorte qu’il couvre parfaitement la hauteur de l’Atomium (voir ILLU 01). Éloignez-vous de l’Atomium si le batôn est trop petit pour la couvrir. Avancez vers elle si le bâton est trop grand. Que se passe-t-il ensuite ? Une fois que le bâton vertical couvre la hauteur de l’Atomium, la distance au sol qui vous sépare du monument correspond exactement à sa hauteur. Il vous suffit de compter vos pas pour atteindre l’édifice et de calculer. Comptez 1 m par grand pas ou la moitié de votre taille par pas normal (si vous faites 1,80 m, chaque pas normal vaut 90 cm)

Plusieurs questions fusent probablement dans votre tête à ce stade: pourquoi ça fonctionne ? Pourquoi les 2 bouts de bois doivent-ils avoir la même taille et pourquoi cette taille commune est sans importance ?

Soit un grand triangle ABC quelconque. Entre A et B, on place un point D. On fait pareil en face: entre A et C, on place un point E. On relie D et E (voir ILLU 02 ci-dessous).

Si DE est parallèle à BC (il le faut, sinon ça ne fonctionne pas), alors on vient de construire un petit triangle AED semblable au grand triangle ABC et parfaitement emboité dans ce dernier. Comme le grand triangle ABC vaut k fois le petit triangle (la valeur de k dépend de votre dessin), Thalès nous dit que chacun des côtés du grand triangle vaut k fois le côté équivalent du petit, donc

Bien sûr, on peut sans que cela change quoi que ce soit, partir d’un petit triangle AED quelconque pour construire un grand triangle ABC semblable qui contiendra le petit triangle d’origine et la conclusion restera la même (voir ILLU 03 ci-dessous).

Mais inspectez à nouveau l’ILLU 03: DE est la longueur du bâton vertical. AD du bâton horizontal. Les dénominateurs de nos fractions sont les mêmes ! Du coup, les numérateurs doivent aussi l’être sinon l’égalité ne tient pas, prouvant que AB = BC, et donc la distance qui nous sépare de l’Atomium est la même que sa hauteur, merci Thalès et le fait que les 2 batôns ont la même longueur (garantissant AD = DE).

Telle que présentée, la technique suppose que l’œil de l’observateur est au niveau du sol. Ce qui n’est bien sûr pas le cas si vous restez debout, le bâton horizontal que vous pointez vers la base de ce que vous cherchez à mesurer ne sera pas si horizontal que ça ! L’angle avec le sol sera toutefois négligeable si vous mesurez quelque chose de très grand comme l’Atomium (102 m) ou le Beffroi de Mons (87 m) puisque vous serez loin de la base de ces édifices. Alternativement, si vous êtes un enfant ou petit, le problème peut aussi être négligé même pour quelque chose de plus petit comme un arbre.

Toutefois, ça ne marche pas pour un grand bucheron qui mesure un arbre. Voici donc la vraie croix du bûcheron Vous placez un bâton de bois au niveau de votre œil à l’horizontale mais ne visez pas la base de l’arbre avec le bâton. Au contraire, vous le gardez bien à l’horizontale, parallèle au sol, et allez donc pointer au-dessus de la base de l’arbre (pour aider, vous pouvez même placer une personne de même taille que vous à côté de l’arbre et viser ses yeux). Maintenant, placez votre bâton vertical au bout du bâton horizontal comme précédemment. Mais cette fois, vous pouvez le déplacer vers le haut ou vers le bas pour que le bord supérieur coïncide avec la cime de l’arbre et le bord inférieur avec la base de l’arbre en même temps (voir ILLU 04 ci-dessous). Si c’est impossible, avancez ou reculez avec vos jambes et réessayez. Une fois que le bâton vertical couvre parfaitement l’arbre, c’est gagné. La distance qui vous en sépare est alors la hauteur de l’arbre, aussi bête que ça ! 

À nouveau, nos bâtons étant identiques en taille, les dénominateurs AF et DE sont les mêmes, ne laissant pas le choix aux numérateurs: ils doivent être les mêmes aussi pour que l’égalité tienne. AG, la distance nous séparant de l’arbre, vaut BC, sa hauteur.