Fascinante suite de Fibonacci

En fait, elle constitue un excellent exemple de la manière dont s’échafaude parfois la connaissance mathématique: à partir d’un problème en apparence récréatif, sans grande ambition théorique, il arrive qu’on voie apparaître des objets aux propriétés surprenantes soulevant toujours plus de questions, ouvrant de nouveaux champs d’investigation… Regardons cela de plus près: avec Fibonacci pour guide et sa suite pour embarcation, partons en exploration sur le grand fleuve Mathématiques.

«Partant d’un couple de lapins dans un enclos, combien obtiendra-t-on de couples après un nombre donné de mois, sachant que chaque couple de lapins, à partir de deux mois d’existence, produit un nouveau couple par mois ?» Ce problème est issu de l’ouvrage le plus célèbre de Fibonacci, Liber abaci, publié en 1202. Penchons-nous un instant dessus. Le premier mois, seul un couple de lapins est présent. Le deuxième mois, ce couple n’est pas encore productif: il reste donc seul dans l’enclos. Le troisième mois, il produit un autre couple: on a dorénavant 2 couples de lapins. Le mois suivant, le premier couple produit encore un nouveau couple, mais le second couple n’est pas encore productif: on obtient donc, en tout, 3 couples. En poursuivant le raisonnement, on obtient les valeurs suivantes:

Si vous n’avez pas tout saisi à ce raisonnement, ne détalez pas comme des lapins pour autant. Car les mathématiques ont ceci de fabuleux qu’elles permettent d’exprimer simplement ce qu’il peut être difficile de décrire avec des mots. Si l’on formalise ce qui précède, en effet, on définit tout simplement une suite de nombres commençant par 1 et 1, et telle que chaque terme de la suite est égal à la somme des 2 termes précédents. Nous y sommes: voilà la célèbre «suite de Fibonacci».

Notons au passage que derrière le défi mathématique imaginé par l’auteur du Liber abaci se cache en fait l’un des premiers modèles mathématiques de dynamique des populations (1) ! Un modèle simpliste, dans lequel les lapins ne meurent jamais et où leur reproduction est facile à décrire.

Mais l’histoire ne s’arrête pas là. Comme les mathématiciens et mathématiciennes ne cessent jamais de lever des lièvres, ils ont commencé à triturer les termes de la suite de Fibonacci pour voir si des propriétés intéressantes – ou tout du moins amusantes – ne pouvaient pas en surgir (tel un lapin du chapeau d’un magicien). Ils ont par exemple découvert qu’en additionnant entre eux 10 termes consécutifs de la suite, le résultat était toujours égal à 11 fois le septième terme de la somme. En reprenant des valeurs du tableau ci-dessus, on vérifie ainsi que:

2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 +55 + 89 + 144 = 374 = 11 x 34

Et cela reste vrai pour n’importe quelle série de 10 termes consécutifs de la suite. La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés comme celle-ci, que des amoureux des nombres se sont amusés à traquer et à lister. Cependant, des propriétés plus subtiles, plus profondes,
se cachent dans cette suite. On peut ainsi citer l’utilité des nombres de Fibonacci pour constituer des «triplets pythagoriciens»: ces ensembles de 3 nombres entiers (a,b,c) vérifiant a² + b² = c². Quel intérêt ? Faire des équerres ! Car d’après le célèbre théorème de Pythagore, si l’on connaît 3 nombres entiers (a,b,c) vérifiant cette égalité, alors un triangle de côtés a, b et c sera toujours rectangle. Bien pratique pour manufacturer des outils de géométrie ! Et plus pratique encore: il existe une méthode systématique pour fabriquer un triplet pythagoricien à partir de 4 termes consécutifs pris n’importe où dans la suite de Fibonacci. Une jolie propriété, qui fait écho à des problèmes assez profonds de théorie des nombres.